ფეხბურთის კლუბი კვარტალი ჩამოყალიბდა 2016 წელს, თბილისში, თავდაპირველად როგორც სამოყვარულო საფეხბურთო ინიციატივა, ადგილობრივი ფეხბურთის მოყვარულთა ჯგუფის მიერ, სხვადასხვა სოციალური ჯგუფებისთვის უსაფრთხო და ინკლუზიური ურბანული საფეხბურთო პლატფორმის შექმნის მიზნით. კლუბმა ახალგაზრდული ფეხბურთის, ქალთა ფეხბურთის, ინკლუზიურობასა და საფეხბურთო-მოხალისეობრივი შრომის განვითარებაში შეტანილი წვლილისათვის 2025 წელს მიიღო საერთაშორისო აღიარება UEFA Grassroots Award-ის სახით.
2020 წლიდან კვარტალი ასპარეზობს საქართველოს ქალთა საფეხბურთო ლიგის უმაღლეს დივიზიონში, სადაც გუნდმა 2022 და 2024 წლების სეზონებში მოიპოვა ვერცხლის მედლები, ხოლო 2023-ში ბრინჯაოს. კლუბის ფეხბურთელები რეგულარულად ასპარეზობენ, როგორც გოგონათა ახალგაზრდულ, ასევე ქალთა ეროვნულ ნაკრებ გუნდებში. მამაკაცთა გუნდი 2016 წლიდან თამაშობს თბილისის სამოყვარულო ლიგის უმაღლეს დივიზიონში. 2022 წელს კლუბმა დააარსა ფეხბურთის სკოლა, სხვადასხვა ასაკობრივი ჯგუფების ბიჭებისა და გოგონებისათვის, რომელიც ორიენტირებულია მოთამაშეთა სტრუქტურირებულ განვითარებაზე, მასობრივი მონაწილეობიდან მაღალი მიღწევების პროფესიულ საფეხბურთო დონემდე.
მოთამაშეთა განვითარების პარალელურად კლუბი სთავაზობს საგანმანათლებლო და კარიერულ შესაძლებლობებს ფეხბურთში ჩართვის მსურველ პირებს და ასევე მონაწილეობს ფეხბურთის ხელმისაწვდომობაზე ორიენტირებულ მასობრივ საფეხბურთო ინიციატივებში ქვეყნის მასშტაბით. კლუბის მართვა ხორციელდება მოხალისეობრივ შრომაზე დაფუძნებული ადმინისტრაციის მიერ, რომელიც უზრუნველყოფს კლუბის, როგორც ყოველდღიურ ოპერირებას, ასევე გრძელვადიან მდგრადობას და განვითარებას.
მომავალში კვარტალი მიზნად ისახავს აკადემიის და ახალგაზრდული პროგრამების განმტკიცებას, ქალთა და გოგონათა მონაწილეობის გაზრდას და სტაბილური პარტნიორობებითა და მდგრადი საფეხბურთო პროექტებით კლუბის შემდოგმი განვითარების უზრუნველყოფას.